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        2019年小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之?dāng)?shù)論問(wèn)題:余數(shù)問(wèn)題(3)

        2019-05-05 10:21:18      下載試卷

          3.同余定理

          若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余,用式子表示為:a≡b ( mod m ),左邊的式子叫做同余式。

          同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質(zhì),我們可以得到一個(gè)非常重要的推論:

          若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同,則a,b的差一定能被m整除

          用式子表示為:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整數(shù),即m|(a-b)

          三、棄九法原理:

          在公元前9世紀(jì),有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米,寫(xiě)有一本《花拉子米算術(shù)》,他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行,由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確,他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的:

          例如:檢驗(yàn)算式

          1234除以9的余數(shù)為1

          1898除以9的余數(shù)為8

          18922除以9的余數(shù)為4

          678967除以9的余數(shù)為7

          178902除以9的余數(shù)為0

          這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2

          而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。

          上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理,即如果這個(gè)等式是正確的,那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。

          而我們?cè)谇笠粋(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí),常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算,只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了,在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去,所以這種方法被稱(chēng)作“棄九法”。

          所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理:任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。

          以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù),只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和,再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。

          利用十進(jìn)制的這個(gè)特性,不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加,對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用

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