3.同余定理
若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱a、b對于模m同余,用式子表示為:a≡b ( mod m ),左邊的式子叫做同余式。
同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質,我們可以得到一個非常重要的推論:
若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同,則a,b的差一定能被m整除
用式子表示為:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整數(shù),即m|(a-b)
三、棄九法原理:
在公元前9世紀,有個印度數(shù)學家名叫花拉子米,寫有一本《花拉子米算術》,他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行,由于害怕以前的計算結果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確,他們的檢驗方式是這樣進行的:
例如:檢驗算式
1234除以9的余數(shù)為1
1898除以9的余數(shù)為8
18922除以9的余數(shù)為4
678967除以9的余數(shù)為7
178902除以9的余數(shù)為0
這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2
而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個算式一定是錯的。
上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理,即如果這個等式是正確的,那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。
而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時,常常不用去列除法豎式進行計算,只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了,在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去,所以這種方法被稱作“棄九法”。
所以我們總結出棄九發(fā)原理:任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。
以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù),只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和,再求這個和被9除的余數(shù)即可。
利用十進制的這個特性,不僅可以檢驗幾個數(shù)相加,對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用