難度：★★★★
小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：約數(shù)與倍數(shù)
A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個(gè)約數(shù)，數(shù)B有10個(gè)約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?
【答案】
由題意知A可以寫成3×52×a，B可以寫成3×52×6,其中a、b為整數(shù)且只含質(zhì)因子3、5.
即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均為自然數(shù)(可以為0)
由A有12個(gè)約數(shù),所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，
所以 .對(duì)應(yīng)A為31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；
由B有10個(gè)約數(shù),所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .對(duì)應(yīng)B為31+0×52+2=1875．
只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．
那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550
難度：★★★★★
小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：約數(shù)與倍數(shù)
兩個(gè)不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60.問這樣的自然數(shù)共有多少組?
【答案】
解答：設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它們的和為:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①
它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：
[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，
且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②
聯(lián)立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．
即說明一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),不妨記a=kb(k為非零整數(shù))，
有 ,即 確定，則k確定，則kb即a確定
60的約數(shù)有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60這12個(gè)，b可以等于1，2，3，4，5，6，10．12，15，20這10個(gè)數(shù)，（因?yàn)槿绻鸼=60，則(k+1)=1，而k為非零整數(shù)，矛盾；b=30，則a=30，a=b，矛盾）
對(duì)應(yīng)的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數(shù)有10組．
進(jìn)一步，列出有(a,b)為（1,59），(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20)。
