在2013年小升初中，奧數(shù)競賽占了一個非常重要的位置。也可以說奧數(shù)就是重點中學(xué)的一塊小小的敲門磚，可以讓你在小升初擇校過程中事半功倍。下面是奧數(shù)網(wǎng)小編整理的2013年數(shù)學(xué)競賽解題密匙，希望對大家有所幫助。

六、整除問題——概念清，規(guī)律要記

　　同學(xué)們與數(shù)學(xué)交朋友都是從整數(shù) 1、2、3、⋯⋯開始的，現(xiàn)在大家都有 了一些關(guān)于整數(shù)方面的知識，但這僅僅是整數(shù)中最簡單、最基本的內(nèi)容，還有許許多多奧妙的理論與問題等待著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造。陳景潤爺爺所研 究的“哥德巴赫猜想”就是整數(shù)中的一個著名的問題，他已取得了世界上令 人囑目的領(lǐng)先地位。

　　本章概念多、理論性強，希望大家在弄清概念的基礎(chǔ)上要記牢規(guī)律，它 對于解答整數(shù)問題，一定有很大的幫助。

　　本章所研究的數(shù)或英文字母，仍指零和自然數(shù)(統(tǒng)稱叫整數(shù))。

　　例 1 四位數(shù)3A71能被9整除，求 A。　(美國長島小學(xué)數(shù)學(xué)比賽題)

　　解：根據(jù)“如果一個數(shù)各位上的數(shù)的和能被 9 整除，那么這個數(shù)能被 9整除”的規(guī)律，要使四位數(shù)3A71能被 9整除，那么3+A +7+ 1=11+A必須能被9整除。這里，A 是 0～9 中的整數(shù)，因此， A+11=18，得 A=7。 答：A 是7。

　　說明：為了學(xué)好《整除問題》，必須牢記能被一些常用數(shù)(如 2、5、4、25、8、125、3、9、7 11、13⋯⋯)整除的數(shù)的特征以及整數(shù)的基本性質(zhì)。

　　現(xiàn)在分別敘述如下：

　　(一)能被一個數(shù)整除的數(shù)的特征

　　(1)能被 2 或 5 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末一位數(shù)能被 2 或 5 整除;

　　(2)能被 4 或 25 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末兩位數(shù)能被 4 或 25 整除;

　　(3)能被 8 或 125 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末三位數(shù)能被 8 或 125 整除;

　　(4)能被 9 或 3 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)之和能被9 或 3 整除;

　　(5)能被 11 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)的和與偶數(shù)位上數(shù)的和之差(或反過來)能被 11 整除;

　　(6)能被 7、11、13 整除的數(shù)的特征是：這個數(shù)的末三位數(shù)與末三位以 前的數(shù)之差(或反過來)能被 7、 11、 13 整除。

　　(二)整數(shù)的基本性質(zhì)

　　(1)如果兩個整數(shù)都能被同一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和或差也 能被這個自然數(shù)整除。

　　如： 18 與 12 都能被 3 整除，所以 18 與 12 的和 30 也能被 3 整除， 18 與 12 的差 6 也能被 3 整除。

　　(2)如果一個整數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這個數(shù)的整數(shù)倍也能被這個自然數(shù)整除。

　　如： 14 能被 7 整除，所以 14×5 的積 70 也能被 7 整除。

　　(3)如果一個整數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個整數(shù)能 被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。

　　如：60 能被 3 整除，也能被 5 整除，3 與 5 是互質(zhì)數(shù)，所以 60 能被 3×

　　5 的積 15 整除。

　　例 2 如果六位數(shù)□8919□能被 33 整除，那么這個六位數(shù)是多少? 解：設(shè)這個六位數(shù)為 W，并且它的十萬位上的數(shù)為 x，個位上的數(shù)為 y(也就是 W=x8919y)。

　　因為 33=3×11，3 與 11 是互質(zhì)數(shù)，所以根據(jù)整數(shù)的基本性質(zhì)(3)，可 得如果 W 能被 3、11 整除，那么 W 就能被 3×11=33 整除。

　　要使 W 能被 3 整除，必須使 x+8+9+1+9+y=27+x+y 能被 3 整除，因為 27 能被 3 整除，如果 x+y 也能被 3 整除，那么根據(jù)整數(shù)的基本性質(zhì)(1) 可得 27+x+y 能被 3 整除，從而 W 能被 3 整除。

　　要使 W 能被 11 整除，必須使(9+9+x)-(y+1+8)=9+(x-y) 能被 11 整除。

　　綜合以上情況，得

　　x+y 能被 3 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)

　　9+(x-y)能被 11 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)

　　因為 x、y 均是 0～9 中的整數(shù)(x≠0)，所以，9+(x-y)=11，即 x=y+2。

　　當(dāng) y=0、1、2、3、4、5、6、7 時， x=2、3、4、5、6、7、8、9。 由(1)，可得 y=2，x=4 或 y=5，x=7。 所以 W=489192 或 789195。

　　答：這個六位數(shù)是 489192 或 789195