一、分?jǐn)?shù)與除法

　　在自然數(shù)集合里，加法和乘法運(yùn)算總是可以實(shí)施，但減法和除法卻不行；引入分?jǐn)?shù)，自然數(shù)集合擴(kuò)充為非負(fù)有理數(shù)集合后，除法運(yùn)算才變得暢通無阻。

　　例如，3÷4＝？在自然數(shù)集合里找不到一個(gè)與3÷4對(duì)應(yīng)的自然數(shù)，而在非負(fù)有理數(shù)集合里卻找到了一個(gè)且只有一個(gè)分?jǐn)?shù)，與3÷4對(duì)應(yīng)，即3÷4＝。

　　如何理解3÷4＝的數(shù)學(xué)意義呢？

　　⑴表示3是4的。其中3與4表示不同的兩個(gè)量，而是量數(shù)，是以4為基準(zhǔn)量去度量3所得的結(jié)果。

　　一般地，a、b都是非零的自然數(shù)時(shí)，a÷b＝。

　�、票硎�3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。這里，3和都表示量，而4是量數(shù)。

　　事實(shí)上，任意兩個(gè)正有理數(shù)相除，都具有上述兩種數(shù)學(xué)意義。

　　例如“3÷＝？”也有下面兩種數(shù)學(xué)意義：

　�、�3是的幾分之幾？

　　從上圖，可以看出：3÷＝。

　　⑵3平均分成份，每份是多少？

　　因?yàn)槭?個(gè)的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下圖所示。

　　從上圖，也可以看出：3÷＝。

　　注意：a、b都不是0，但只要有一個(gè)是分?jǐn)?shù)，那么a÷b≠。

　　所以，如果忽視必要的前提，籠統(tǒng)地說被除數(shù)即分子、除數(shù)即分母，是不正確的。當(dāng)且僅當(dāng)a、b都是不為零的自然數(shù)時(shí)，等式a÷b＝才成立。這個(gè)命題還告訴我們，分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為除法，這為分?jǐn)?shù)化為小數(shù)打通了一條重要途徑。

　　二、百分?jǐn)?shù)

　　百分?jǐn)?shù)是否就是分母是100的分?jǐn)?shù)？如果是，又何必需要這個(gè)新概念呢？

　　事實(shí)上，百分?jǐn)?shù)是在分?jǐn)?shù)應(yīng)用的實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。我們先來解決下面的實(shí)際問題：

　　在一場(chǎng)足球比賽中，猛虎隊(duì)獲得一次罰點(diǎn)球的機(jī)會(huì)，他們準(zhǔn)備派下列三名隊(duì)員中的一名去罰點(diǎn)球。下面是這三名隊(duì)員在過去比賽中罰點(diǎn)球的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。

　　隊(duì)員

　　踢點(diǎn)球的次數(shù)

　　罰中的次數(shù)

　　3號(hào)隊(duì)員

　　18

　　20

　　5號(hào)隊(duì)員

　　21

　　25

　　7號(hào)隊(duì)員

　　13

　　12

　　　從這個(gè)實(shí)際問題抽象成的數(shù)學(xué)問題是：比較分?jǐn)?shù)、、的大校

　　 解法1：（化為同分母的分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較）

　　＝，

　�。剑�

　�。健�

　　因?yàn)椋荆荆?/p>

　　所以＞＞。

　　由此可知，7號(hào)隊(duì)員以往罰點(diǎn)球的成績(jī)最佳，派他去罰點(diǎn)球是明智的選擇。

　　不過，上面三個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小倍數(shù)（1300）是比較大的，因此通分不僅比較費(fèi)勁，也容易出差錯(cuò)。

　　解法2：（化為小數(shù)進(jìn)行比較）

　�。�18÷20＝0.90，

　�。�21÷25＝0.84，

　　＝12÷13＞0.923。

　　因?yàn)?.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。

　　化為小數(shù)，雖然可以借以比較分?jǐn)?shù)的大小，但小數(shù)卻失去了原來分?jǐn)?shù)的特性，即表示量的倍比關(guān)系的意義。因此，需要尋找既能保持分?jǐn)?shù)的特性，計(jì)算又比較簡(jiǎn)便的解題方法。就在這種需要的驅(qū)動(dòng)下，百分?jǐn)?shù)應(yīng)運(yùn)而生了。

　　新的辦法就是把分母統(tǒng)統(tǒng)變成100。

　　把與化為分母是100的分?jǐn)?shù)不難：＝，＝。

　　問題在于怎樣把也變成分母是100的分?jǐn)?shù)呢？

　　設(shè)所化成的分?jǐn)?shù)的分子為x，即

　　＝，

　　兩邊同乘100，得

　　x＝×100，

　　x≈92.3。

　　所以，≈。這個(gè)結(jié)果與前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)不同的地方是，它的分子是一個(gè)小數(shù)。

　　的意義是：如果把13平均分成100份，那么12大約占其中的92.3份。也就是說，這種分?jǐn)?shù)只能表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系，而不具有表示量的功能。

　　于是，人們把形如，，，......等，只能表示量的倍比關(guān)系，不能表示量的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為百分?jǐn)?shù)；并引入新的符號(hào)“％”（叫做百分號(hào)），把百分?jǐn)?shù)記為84％，90％，92.3％，......，以便從形式上與前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)加以區(qū)別。

　　顯然，84％＜90％＜92.3％，通過百分?jǐn)?shù)的大小比較，也說明是7號(hào)隊(duì)員點(diǎn)球的罰中率最高。

　　誠(chéng)然，把分?jǐn)?shù)化為百分?jǐn)?shù)還有更簡(jiǎn)捷的途徑，即通過小數(shù)轉(zhuǎn)化。

　　如，≈0.923＝92.3％。但是這種方法，對(duì)于理解百分?jǐn)?shù)的意義，不如方程的方法直觀。

　　三、比

　　比，顧名思義，與人類比較事物的實(shí)踐活動(dòng)密切相關(guān)。比的概念是在比較不同的量的倍比關(guān)系的實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展的。

　　下面先探討一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題--平面圖畫得像不像。

　　例1羽毛球場(chǎng)是長(zhǎng)18m、寬9m的長(zhǎng)方形，如下圖A。

　�、旁贐、C、D、E、F等圖形中，你認(rèn)為哪幾個(gè)長(zhǎng)方形的形狀像圖A，哪幾個(gè)不像？

　�、茖�(duì)形狀與圖A（羽毛球場(chǎng)）相同的長(zhǎng)方形，請(qǐng)你比較它們的長(zhǎng)和寬，能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

　�、窃趫DA內(nèi)，請(qǐng)你畫一個(gè)形狀與圖A相同的長(zhǎng)方形，且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圖A的長(zhǎng)的。

　　任何正方形的形狀都一樣，但長(zhǎng)方形的形狀卻有差異。圖A恰好可以分成兩個(gè)大小相同的正方形。發(fā)現(xiàn)圖A的這個(gè)特性，能幫助我們找出其他形狀與圖A相同的長(zhǎng)方形，如圖D和E。而圖B、C和F都不具有圖A的這種特性，所以它們的形狀與圖A不同。

　　圖A可以分成兩個(gè)大小相同的正方形，等價(jià)于它的長(zhǎng)是寬的2倍。形狀與圖A相同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)都是寬的2倍；形狀與圖A不同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)都不是寬的2倍。這就是我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

　　一般地，a、b分別表示一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，分?jǐn)?shù)表示這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的倍比關(guān)系。這個(gè)分?jǐn)?shù)的重要性在于它提供了長(zhǎng)方形的一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)：凡是長(zhǎng)是寬的倍的長(zhǎng)方形，都是形狀相同的長(zhǎng)方形，它們歸為一類。圖形的分類對(duì)于認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)具有重要的意義。

　　不過用“長(zhǎng)是寬的倍”來刻畫長(zhǎng)方形的形狀特征，有時(shí)很麻煩。例如，當(dāng)a或b是分?jǐn)?shù)時(shí)，是一個(gè)繁分?jǐn)?shù)。為了避免進(jìn)行繁分?jǐn)?shù)的繁難運(yùn)算，就需要改進(jìn)對(duì)“長(zhǎng)是寬的倍”這一特征的描述，從而引入比的概念。

　　“長(zhǎng)是寬的倍”，可以用“長(zhǎng)與寬的比是a︰b”取而代之。

　　當(dāng)a、b表示兩個(gè)不同的量時(shí)，a︰b＝＝a÷b。

　　所以，比可以定義為：兩個(gè)量相除，叫做這兩個(gè)量的比。

　　雖然比、分?jǐn)?shù)、除法在揭示量的倍比關(guān)系方面是相通的，但對(duì)于不同的問題情境，仍然需要選擇恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)便的表征方式，并掌握它們的相互轉(zhuǎn)換。

　　例2蜂蜜綠茶是用2份蜂蜜和7份綠茶配制成的消暑飲料，要配制450毫升這種飲料，需要蜂蜜和綠茶各多少毫升？

　　在這個(gè)問題中，蜂蜜和綠茶體積的倍比關(guān)系用比的形式表示比較簡(jiǎn)便，即蜂蜜︰綠茶＝2︰7。

　　解法1：（應(yīng)用方程）

　　設(shè)：一份蜂蜜或綠茶的體積為x毫升，則配制蜂蜜綠需用蜂蜜2x毫升，綠茶7x毫升。

　　2x＋7x＝450，

　　9x＝450

　　x＝50。

　　2x＝2×50＝100，

　　7x＝7×50＝350。

　　答：配制蜂蜜綠茶需要100毫升蜂蜜和350毫升綠茶。

　　解法2：（綜合應(yīng)用比和分?jǐn)?shù)）蜂蜜︰綠茶＝2︰7＝︰，且

　�。�＝1。因此，蜂蜜綠茶兩個(gè)組成部分的倍比關(guān)系就轉(zhuǎn)換成各部分與整體（蜂蜜綠茶）的倍比關(guān)系。從而，為應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決問題創(chuàng)造了條件，圖示如下：

　　450×＝100，

　　450×＝350。

　　解法1是代數(shù)方法，解法2是算術(shù)方法，殊途同歸。

　　例37個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，3個(gè)男生平分2個(gè)蛋糕。是每個(gè)女生分得多一些，還是每個(gè)男生分得多一些？

　　解法1：每個(gè)女生分得個(gè)蛋糕，每個(gè)男生分得個(gè)蛋糕。問題可以歸結(jié)為比較分?jǐn)?shù)與的大小。比較兩個(gè)量的倍比關(guān)系又有如下兩種方法。

　　方法1：（利用除法）

　　÷＝×＝。

　　因?yàn)椋?，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　方法2：（利用比）

　　︰＝12︰14。

　　因?yàn)?2︰14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　解法2：（利用比）分別考慮男、女生的蛋糕數(shù)量或人數(shù)的倍比關(guān)系。

　　女生蛋糕︰男生蛋糕＝4︰2＝2︰1，

　　女生人數(shù)︰男生蛋糕＝7︰3。

　　因?yàn)?︰3＞6︰3＝2︰1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　解法3：（利用圖解）

　　上圖說明，如果只有6個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，那么女生和男生將分得同樣多。但女生有7個(gè)，7個(gè)女生平分4個(gè)蛋糕，每個(gè)女生分得的蛋糕要比6個(gè)女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。

　　上述解法2與解法3有異曲同工之妙，妙在都自然地滲透了數(shù)學(xué)的基本思想方法--對(duì)應(yīng)。

　　比的概念不僅進(jìn)一步揭示了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)--量的倍比關(guān)系，而且也豐富了表征思維過程的方法和手段，使我們面臨解決與分?jǐn)?shù)相關(guān)的實(shí)際問題的時(shí)候，有更多的思路和方法可以選擇，可以靈活轉(zhuǎn)換，左右逢源。