一、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景之一--測(cè)量
從數(shù)學(xué)發(fā)展史看，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于人類的測(cè)量活動(dòng)，而且人類認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是從認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位開始的。
�、艤y(cè)量一張三人沙發(fā)的長度，如果沒有現(xiàn)成的尺子，可以自選一個(gè)度量單位，如用一條領(lǐng)帶的長為度量單位進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得三人沙發(fā)的長恰好等于這條領(lǐng)帶長的2倍，即
三人沙發(fā)的長＝領(lǐng)帶的長×2＝2（領(lǐng)帶的長）。
量＝度量單位×量數(shù)。
�、茰y(cè)量一張單人沙發(fā)的長度，發(fā)現(xiàn)它還不足一條領(lǐng)帶的長。怎么辦呢？辦法是縮小度量單位。把這條領(lǐng)帶對(duì)折兩次，即以這條領(lǐng)帶長度的四分之一（）為度量單位時(shí)，單人沙發(fā)的長恰好等于它的3倍，即
單人沙發(fā)的長＝領(lǐng)帶的長的×3＝（領(lǐng)帶的長）
量＝度量單位×量數(shù)。
在測(cè)量單人沙發(fā)時(shí)，我們用到了比自然數(shù)1更小的度量單位（把自然數(shù)1平均分成4份，表示其中的一份的數(shù)是）。
這里，分?jǐn)?shù)和表示不同的長度（量），其中，是分?jǐn)?shù)單位，表示3個(gè)，或的3倍。
所以，用分?jǐn)?shù)單位度量一個(gè)量時(shí)，所得的結(jié)果一般是用分?jǐn)?shù)表示的。也可以說，分?jǐn)?shù)是由量與分?jǐn)?shù)單位（度量單位）的倍比關(guān)系產(chǎn)生的。分?jǐn)?shù)單位的重要性可見一斑。
想一想：已知用1為單位度量三人沙發(fā)的長時(shí)，量數(shù)是2，沙發(fā)的長是多少？那么用為單位度量這張三人沙發(fā)的長，量數(shù)是幾？這張三人沙發(fā)的長度是幾分之幾？如果用為單位去度量這張三人沙發(fā)的長呢？
下面的表格，同樣可以表征上述數(shù)學(xué)問題：
三人沙發(fā)的長度
度量單位
量數(shù)
？
1
2
��？
��？
��？
��？
下面雙重刻度的線段，也可以表征上述的數(shù)學(xué)問題：
經(jīng)過上述作業(yè)，能充分體驗(yàn)量、度量單位、量數(shù)三者的基本關(guān)系：量＝度量單位×量數(shù)；同時(shí)，還會(huì)發(fā)現(xiàn)：2＝＝。
再想一想：用為單位去度量一張雙人沙發(fā)的長，如果所得的量數(shù)是6，那么這張雙人沙發(fā)的長度可以用什么分?jǐn)?shù)表示？
上面這個(gè)數(shù)學(xué)問題，用線段圖表征如下：
二、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景之二--分物
⑴用自然數(shù)1表示1個(gè)物體，把它平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。
⑵用自然數(shù)1表示由許多物體組成的一個(gè)整體時(shí)，把它平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，也是分?jǐn)?shù)單位嗎？
把8個(gè)餅平均分成4份，其中每份都有2個(gè)餅。
如果把2（部分量）作為度量單位，去度量8（整體）時(shí)，量數(shù)是4；也就是說，8是2的4倍。
如果把8作為單位“1”，去度量2時(shí)，量數(shù)是；這個(gè)分?jǐn)?shù)描述的是同一個(gè)量中整體與部分的倍比關(guān)系，它本身不是一個(gè)量，當(dāng)然也就不具有充當(dāng)分?jǐn)?shù)單位的資格。
所以，同一個(gè)分?jǐn)?shù)，具有兩種不同的意義：一可以用來表示一個(gè)量，當(dāng)它表示量時(shí)，它還是計(jì)量的單位（分?jǐn)?shù)單位）；二是可以用來表示量數(shù)，即表示兩個(gè)量（整體與部分）的倍比關(guān)系。事實(shí)上任何分?jǐn)?shù)都具有這兩種意義。
籠統(tǒng)地，把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。這個(gè)定義的科學(xué)性是值得商榷的。
�、侨绻�9個(gè)餅平均分給4個(gè)人，每人分得幾個(gè)餅？
這個(gè)實(shí)際問題通常被抽象為下面的數(shù)學(xué)問題：
9平均分成4份，每份多少？
解法一：因?yàn)?平均分成4份，其中一份是；所以，9平均分成4份，每份是9個(gè)，即。算法如下：
9÷4＝9×（1÷4）
�。�9×
�。�。
解法二：9÷4＝2......1，
1÷4＝，
2＋＝2，
所以，9÷4＝2。
上述兩種算法，都涉及到一個(gè)基本的運(yùn)算：
1÷4＝
量÷量數(shù)＝度量單位。
在教材中，是通過圖形的直觀操作得到結(jié)果的，但缺乏對(duì)操作過程的內(nèi)涵抽象與概括，使學(xué)生不能看到分?jǐn)?shù)與除法之間的本質(zhì)聯(lián)系。因此，學(xué)生的思維只能停留在經(jīng)驗(yàn)的層面，他們的理論思維得不到應(yīng)有的培養(yǎng)和發(fā)展。
值得指出的是，當(dāng)我們把實(shí)際問題中的“4個(gè)人”抽象成“4份”的時(shí)候，其中“4”的意義，從表示量（人數(shù)）變換成表示量數(shù)（份數(shù)）了。當(dāng)我們掌握了比的概念后，上述的實(shí)際問題還可以抽象成下面的數(shù)學(xué)問題：
9與4的比的比值是多少？其中9與4的實(shí)際意義都沒有改變，它們分別表示兩個(gè)不同的量。
解：9︰4＝︰1＝。
回到實(shí)際問題的情境，解釋比值的實(shí)際意義，即表示每個(gè)人分得個(gè)餅。
從這個(gè)例子，也許可以領(lǐng)略到一點(diǎn)產(chǎn)生比的概念的必要性。
三、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景之三--比較
兩個(gè)量的比較有兩種圖式：一是兩個(gè)量的差比關(guān)系（第一學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容）；二是兩個(gè)量的倍比關(guān)系（第二學(xué)段學(xué)習(xí)的內(nèi)容）。
�、乓皇r花，其中5朵白花，10朵紅花。
如果以白花的朵數(shù)為基準(zhǔn)量進(jìn)行比較，那么紅花的朵數(shù)是白花的2倍；如果以紅花的朵數(shù)為基準(zhǔn)量進(jìn)行比較，那么白花的朵數(shù)是紅花的。這里，2和都是量數(shù)，都表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。
上述量與量數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可以用下面的線段圖直觀表示：
測(cè)量中的量、度量單位與量數(shù)之間的基本關(guān)系，可以衍變?yōu)樵诒容^中的量、基準(zhǔn)量、量數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，即
量＝基準(zhǔn)量×量數(shù)。
�、瓢聪旅娴膬煞N方法配制橙汁飲料：
A．4杯純橙汁、3杯礦泉水；
B．5杯純橙汁、4杯礦泉水。
A、B兩種橙汁飲料，哪種更甜一些？
解決這類實(shí)際問題一般都有下列兩種思維圖式：
�、偾竺勘骄鶕饺霂妆兂戎�，摻入純橙汗較多的飲料更甜一些。根據(jù)這種思維圖式，以水的杯數(shù)為基準(zhǔn)量，求純橙汁的杯數(shù)是水的幾倍。因此，從實(shí)際問題抽象出的數(shù)學(xué)問題是：比較分?jǐn)?shù)與的大小。
解法一：＝，＝。
因?yàn)椋荆裕尽＿@個(gè)結(jié)果說明A種橙汁飲料更甜一些。
解法二：＞1.33，＝1.25。
因?yàn)?.33＞1.25，所以＞。
�、谇竺勘兂戎骄鶕饺霂妆瑩饺胨^少的飲料更甜一些。根據(jù)這種思維圖式，以純橙汁的杯數(shù)為基準(zhǔn)量，求水的杯數(shù)是純橙汁的幾倍。因此，從實(shí)際問題抽象出的數(shù)學(xué)問題是，比較分?jǐn)?shù)與的大小。
解答這個(gè)數(shù)學(xué)問題也有類似于①中的兩種方法，結(jié)果是＜，說明A種飲料摻入的水較少，因此更甜一些。
綜上，從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的三種現(xiàn)實(shí)背景，可以清楚地看到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于量的倍比關(guān)系。分?jǐn)?shù)概念的核心是量、度量單位（基準(zhǔn)量）與量數(shù)的基本關(guān)系，即量＝度量單位（基準(zhǔn)量）×量數(shù)。
因此，分?jǐn)?shù)具有兩種不同的意義：
1．分?jǐn)?shù)可以表示量。表示量的分?jǐn)?shù)，它或者是分?jǐn)?shù)單位，或者是分?jǐn)?shù)單位的整數(shù)倍。
2．分?jǐn)?shù)可以表示量數(shù)。量數(shù)是以一個(gè)量為基準(zhǔn)量去度量另一個(gè)量所得的結(jié)果，它是描述兩個(gè)量倍比關(guān)系的一個(gè)數(shù)（自然數(shù)或分?jǐn)?shù)）。
兩個(gè)量的倍比關(guān)系又有下面四種類型：
�、僖粋�(gè)量中整體與部分的倍比關(guān)系；
�、谕惖膬蓚�(gè)量的倍比關(guān)系；
�、垡粋�(gè)量中各組成部分的倍比關(guān)系；
�、懿煌惖膬蓚�(gè)量的倍比關(guān)系。
從類型①和②，可以衍生出百分?jǐn)?shù)的概念；從類型③和④可以衍生出比的概念。
量＝基準(zhǔn)量×量數(shù)，這一基本關(guān)系有下面兩個(gè)等價(jià)的形式：
①量÷基準(zhǔn)量＝量數(shù)；
②量÷量數(shù)＝基準(zhǔn)量。
從形式上看，①和②都是兩個(gè)數(shù)相除，但只有①的情形才可以稱為兩個(gè)量的比。各種版本教材關(guān)于比都是這樣定義的：“兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比”。這個(gè)定義令人困惑，一些學(xué)生也提出質(zhì)疑：“既然兩個(gè)數(shù)相除又叫做這兩個(gè)數(shù)的比，那么為什么還要學(xué)習(xí)比呢？”問的教師無言以對(duì)。其實(shí)，是這個(gè)比的定義有問題，它錯(cuò)誤地?cái)U(kuò)大了比的概念的外延。比的定義似乎應(yīng)該是：“兩個(gè)量相除，叫做這兩個(gè)量的比”。（2007年2月15日于福州）
